快速求面积之进阶版——蝴蝶模型
之前我们在《快速求面积之初级版》中学习了三个基本模型，今天我们再由此推导出一个新模型——蝴蝶模型。连接任意一个四边形的对角线，会将四边形分成四个部分，它的形状类似于蝴蝶，称之为“蝴蝶模型”，其背后关于面积和边的比例性质引出了一系列定理，称之为“蝴蝶定理”。
一、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
如图所示，四边形ABCD是任意一个四边形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则有：
结论1：S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4
证明：
∵S1:S2=DO:OB，S4:S3=DO:OB（同底共边模型）
∴S1:S2=S4:S3
结论2：DO:OB=(S1+S4):(S2+S3)或AO:OC=(S1+S2):(S3+S4)
证明：根据结论1和比例的性质可以直接得到结论2。
二、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
如图所示，四边形ABCD是梯形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4，则有：
结论1：
证明：
结论2：
证明：
结论3：
对应的份数为
证明：根据结论2可以直接得到结论3。
三、应用
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。问种植白花的面积占矩形土地面积的（ ）。
A．3/4 B．2/3 C．7/12 D．1/2
【答案】C
【解析】因为E是CD中点，所以不妨设DE=1，AB=2。因为A、B、E、D四点构成一个梯形蝴蝶模型，由蝴蝶定理可得各部分面积：甲=4，乙=2，丙=1，丁=2。又因为
，所以丙+丁=戊=3。得到白花面积的占比为（甲+戊）:总=7:12。
因此，选择C选项。
【例2】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为 。
【答案】2.7
【解析】如图，连结OE。
根据蝴蝶定理可得：
根据蝴蝶定理可得：
蝴蝶模型我们先学到这里，下次学习另一个也是由基础模型推导而得的快速求面积之进阶模型，敬请期待！
