容斥中的最值问法（一）---公式法_行测

容斥问题是考试中一大重要题型，大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。小伙伴们在练习的时候也乐于做这类题型，常常感觉这类题型的难度低，方法固定，比较容易求解。但在考试时，不少同学会发现原本简单的容斥问题变难了，因为之前我们学过的容斥问题往往带公式求解即可，但是考题在设问中出现了“至少”“至多”这样的字，同学们便无从下手了。

那么当容斥问题的设问中出现了“至多”、“至少”等最值问法时，我们应该如何解题呢?今天这篇文章我们就给大家介绍容斥中的极值问题，简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。主要包含两种，本篇文章小编给大家先来讲第一种：

一、可以直接利用公式解决的题型

对容斥极值问题而言，若求的是几个集合公共部分的最小值问题，我们可以直接套用公式，下面3个公式需要同学们牢牢记住：

①两集合：AB最小值=A+B-总数

②三集合：ABC最小值=A+B+C-总数×2

③四集合：ABCD最小值=A+B+C+D-总数×3

注：公式中的A、B、C、D代表的是每一个单独的集合

我们接下来通过例题来看看：

例题1：

小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都做对的题目至少有几道?

【解析】通过阅读题干信息，我们不难发现，两个单独的集合A、B分别代表的是小明做对的题目数68和小刚做对的题目数58，而全集就是考试总题目数100，现要求两人都做对的题目至少有几道就是两个集合公共部分的最小值，直接套用公式可得68+58-100=26。

例题2：

某中学食堂统计该校第一季度在食堂吃饭的学生人数，一月份有67%的学生在食堂吃饭，二月份有65%的学生在食堂吃饭，三月份有82%的学生在食堂吃饭。若该中学共有学生1650人，则最少有多少学生第一季度的三个月都在食堂吃饭？（）

A．230人 B．231人

C．252人 D．267人

【解析】这道题我们可以知道公式中的A、B、C分别代表三个月份在食堂吃饭的学生，题目所求正是三个月都在食堂吃饭的最小值，可以直接代三集合极值公式：ABCmin=A+B+C-2总，则有67%+65%+82%-2=14%，14%×1650=231。故答案选B。

问题3：

某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，使用过全部四款手机软件的至少有（）人。

A．120 B．250

C．380 D．430

【解析】这道题考察的是四集合的容斥最值问题，A、B、C、D分别代表使用过甲乙丙丁四款手机软件的人，让求的是四者都使用过的至少是多少，符合公式法的使用条件，代公式：ABCDmin =A+B+C+D-总数×3=68%+87%+75%+82%-3=12%，因此全部四款手机软件都使用过的有1000×12%=120人。所以，正确答案为A项。

以上就是容斥问题中最值问题公式法的使用，但是还有一些用公式解决不了的题目怎么办呢？下篇文章小编来给大家讲，记得来看哦！

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