容斥中的最值问法（二）——非公式法_行测

所谓容斥最值，即容斥问题中涉及最大、最小、至多、至少等形式的设问方式，这一类题目也是最值问题的一种，我们通常称之为容斥最值。那么遇到这类容斥最值的问题时，我们有哪些快速的解题方法呢？上篇文章小编已经给大家讲解了解决这种题目的第一种方法----公式法，今天小编通过本篇文章要给大家讲解一下不能使用公式法的容斥极值题目该如何应对，希望能对各位小伙伴有所帮助。

我们知道，在容斥极值问题中，若所求结果并非是几个集合公共部分的最小值，那就不能直接使用上篇的公式解决，要结合具体题目进行具体分析。我们常用的解法一般是代入容斥公式列出等式，然后通过分析如何取最值的方法来求解。我们不妨通过几道例题来总结一下这类题型的规律。

例题1

某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有( )人。

A. 27 B. 30 C. 33 D. 36

【解析】分析题干我们可以发现这是一个两集合容斥问题，设问中出现了“至多”这种最值问法。那么我们可以设该班共有x人，唱歌和乐器演奏都不会的有y人，则两种都会的有5y人，根据二集合容斥公式可列出不定方程：x-y=22+15-5y，化简得：x=37-4y。要想x取值最大，则y应最小，因为题干中提到有部分同学这2种才艺都不会，所以y最小取1而不能取0;当取y=1时，x=33，故这个班至多有33人。因此，选择C选项。

例题2

某单位工会会员60人，现在组织会员报名参加兴趣活动小组，其中报名徒步组的有40人，羽毛球组的有38人，乒乓球组的有31人，这三项活动都报名的有18人，问这个单位工会会员中最多有多少人三个小组都没有报名？（）

A．14 B．15 C．16 D．18

【解析】代入公式：A+B+C-满足两项-满足三项×2=总数-都不满足，得到：都不满足=满足两项-13。总人次=40+38+31=109次，先拿出 18 人每人分三次，还剩 109-18×3=55 人次，要都不满足最多，那就让满足两项的最多。因此满足两项的最多是 55÷2=27.5，反向取整是27。因此都不满足是 27-13=14，选 A。

（人次：表示若干次人数的总和。可以把人数重复计算的，包括重复出现的人数。例如，一人报三个项目，就是三人次。）

通过这几道容斥问题的学习我们大致了解了这类题的解题方法，即通过容斥基础公式，找到等量关系，列出不定方程，然后根据未知数取最值的情况进行分析，得出想要的结果。那今天这篇文章要给各位同学分享的内容就结束了，希望所有的同学看完本篇文章之后对容斥极值问题会有一个全新的认识，也能轻松解决该类题型。正所谓学则变，变则通，希望大家在以后的学习中碰到容斥“最值”问题能够做到灵活应对。

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