极值问题之均值不等式是什么

2023-12-19 · 行测 · 判断推理

求最大值、最小值问题是极值问题中的常考题型，主要研究题目中所描述问题的最极端情况。

其中均值不等式更是极值问题中考察频率较高的一种题型。在考试中，它的出题形式一种是在两个数的和一定的情况下去求两个数乘积的最大值；另一种是在两个数的乘积一定的情况下去求两个数和的最小值。

那么，在这里就极值问题中的均值不等式问题来，今天小编将为大家讲一讲均值不等式的解题原则，希望对与大家解决这类问题能够起到一些帮助。

一、均值不等式的概念

当a、b都是正数时，则有，展开后可推出。

由均值不等式可知，当a+b为定值时，ab有最大值；当ab为定值时，a+b有最小值。

二、均值不等式的解法

和定差小积大：当两个数的和一定的情况下，这两个数之间的差值越小，这两个数的乘积也就越大；

积定差小和大：当两个数的乘积一定的情况下，这两个数之间的差值越小，这两个数的和也就越小。

三、均值不等式的应用

【例1】直角三角形两条直角边的和等于10厘米，则三角形的面积最大是多少平方厘米？

A.10 B.12.5 C.20 D.25

答案】B。设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，则有a+b=10，问题所求该三角形面积=1/2ab的最大值，因为1/2已经为定值，则问题关键为求ab的最大值，那么此题可以根据和定差小积大，当a=b=10÷2=5时，就是a和b之间差值最小的情况，代入所求式子中三角形的面积最大是1/2×5×5=12.5平方厘米。故本题答案为B。

【例2】用18米长的警戒线围成各种长方形，要求长方形的长度都是整数米。围成的长方形的面积最大是多少？

A.18平方米 B.20平方米

C.25平方米 D.40平方米

【答案】B。设长方形的两条长和宽分别为a、b，则根据长方形的周长公式有2(a+b)=18，可推出a+b=9，问题求的是该长方形面积=ab的最大值，那么此题可以根据和定差小积大，当a=b=9÷2=4.5时是a和b之间差值最小的情况，但题目要求该长方形的长度都是整数米，所以a和b差值最小应为1，故a=5、b=4，代入所求式子中长方形面积最大是5×4=20平方米。故本题答案为B。

【例3】建造一个容积为16立方米，深为4米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米160元和每平方米100元，那么该水池的最低造价是多少元？

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

【答案】D。由长方体的体积公式可得到该水池的底面积=16÷4=4平方米，故池底面积已确定，要求该水池的最低造价关键是得到池壁面积的最小值，不妨设该水池底面矩形的长为a、宽为b，则有ab=4平方米，那么池壁的面积可表示为2(4a+4b)=8(a+b)，8已确定，那么池壁面积的最小值由a+b的最小值决定，此题可以根据积定差小和大，则米，池壁面积最小为8×(2+2)=32平方米，故该无盖水池最低造价是160×4+100×32=3840元。故本题答案为D。

以上是极值问题中的均值不等式问题的概念、解题原则和应用，希望各位在备考中打好坚实基础，熟练掌握各种题型的相关解法！

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